単位パルス信号。（unit sample sequence、インパルス関数、デルタ関数ともいう）
\[
\delta(t) = \left \{
\begin{array}{ll}
1 & ,\ t = 0 \\
0 & ,\ t \neq 0
\end{array}
\right .
\]
単位ステップ信号。（unit step sequence、ステップ関数ともいう）
\[
u(t) = \left \{
\begin{array}{ll}
1 & ,\ t \geq 0 \\
0 & ,\ t \lt 0
\end{array}
\right .
\]
単位パルス信号は単位ステップ信号の微分であり、単位ステップ信号は単位パルス信号の積分である。
\[
\begin{align}
\delta(t) &= u(t) - u(t - 1) \\\\
u(t) &= \sum_{k = -\infty}^{t} \delta(k)
\end{align}
\]
一般的な表現。
\[
\begin{align}
e^{ j \theta } &= \cos \theta + j \sin \theta \\\\
X(n) &= \sum_{k=0}^{N-1} x(k) e^{ -j \frac{2 \pi nk}{N} } \\\\
x(n) &= \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X(k) e^{ j \frac{2 \pi nk}{N} }
\end{align}
\]
読みやすくした表現。
\[
\begin{align}
W_N^k &= e^{ j \frac{2 \pi k}{N} } \\\\
X(n) &= \sum_{k=0}^{N-1} x(k) W_N^{-nk} \\\\
x(n) &= \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X(k) W_N^{nk}
\end{align}
\]
矩形波。（ \(T\) は矩形波の周期）
\[
f(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{ \sin \{ (2k - 1)t \frac{2 \pi}{T} \} }{ 2k - 1 }
\]
三角波。（ \(T\) は三角波の周期）
\[
f(t) = \frac{8}{\pi^2} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{ \cos \{ (2k - 1)t \frac{2 \pi}{T} \} }{ (2k - 1)^2 }
\]
のこぎり波。（ \(T\) はのこぎり波の周期）
\[
f(t) = -\frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{ (-1)^k }{ k } \sin \left ( kt \frac{2 \pi}{T} \right )
\]
バートレット。（Bartlett）
\[
\omega(x) = 1 - 2 \cdot | x - 0.5 | \quad \quad ,\ \mathrm{if} \ 0 \leq x \leq 1
\]
ハミング。（hamming、慣習的に先頭は小文字だが Hamming でもよい）
\[
\omega(x) = 0.54 - 0.46 \cdot \cos(2 \pi x) \quad \quad ,\ \mathrm{if}\ 0 \leq x \leq 1
\]
ハン。（hann、慣習的に先頭は小文字だが Hann でもよい、Hanning と表現されることもある）
\[
\omega(x) = 0.5 - 0.5 \cdot \cos(2 \pi x) \quad \quad ,\ \mathrm{ if } \ 0 \leq x \leq 1
\]
ブラックマン。（Blackman）
\[
\omega(x) = 0.42 - 0.5 \cdot \cos(2 \pi x) + 0.08 \cdot \cos(4 \pi x) \quad \quad ,\ \mathrm{ if } \ 0 \leq x \leq 1
\]
カイザー。（Kaiser）
\[
\begin{align}
\Gamma(n) &= (n - 1)! \\\\
I_0(x) &= \sum_{ n = 0 }^{ \infty } \frac{ 1 }{ n! \cdot \Gamma (n + 1) } \left ( \frac{ x }{ 2 } \right )^{ 2n } \\\\
\omega(x) &= \frac{ I_0 \left \{ \pi \alpha \sqrt{ 1 - (2x - 1)^2 } \right \} }{ I_0 ( \pi \alpha ) } \quad \quad ,\ \mathrm{ if }\ 0 \leq x \leq 1
\end{align}
\]
一般的な表現。
\[
\begin{align}
H(z) &= \frac{ \displaystyle \sum_{k=0}^{N} b_k z^{-k} }{ 1 + \displaystyle \sum_{k=1}^{N} a_k z^{-k} } \\\\
y(t) &= \sum_{k=0}^{N} b_k x(t-k) + \sum_{k=1}^{N} -a_k y(t-k)
\end{align}
\]
一次フィルタに展開した表現。（Bilinear 型フィルタともいう）
\[
\begin{align}
H(z) &= \frac{ b_0 + b_1 z^{-1} }{ 1 + a_1 z^{-1} } \\\\
y(t) &= b_0 x(t) + b_1 x(t - 1) - a_1 y(t - 1)
\end{align}
\]
二次フィルタに展開した表現。（Biquad 型フィルタともいう）
\[
\begin{align}
H(z) &= \frac{ b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} }{ 1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2} } \\\\
y(t) &= b_0 x(t) + b_1 x(t - 1) + b_2 x(t - 2) - a_1 y(t - 1) - a_2 y(t - 2)
\end{align}
\]
